Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为．

Answer

（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
【解析】
（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
，．
所以==，
所以向量与所成的角为，
故AA1与棱BC所成的角是．
（2）设P为棱B1C1上的点，
由，得P（2λ，4-2λ，2）．
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），
，，
由，得，
取x=1，得z=-λ，故=（1，0，-λ）．
而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），
则=，
解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．