Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）求点B到平面PEC的距离．

Answer

（1）由题意可知AP，AB，AD三边所在直线两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出图中点的坐标，取PC中点M，求出向量与的坐标，由坐标可知向量与平行，从而得到AF∥EM，由线面平行的判定得结论；
（2）求出两个平面PEC和ECD的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）在平面PEC内任取一点E，和B连线后得一向量，由公式求点B到平面PEC的距离．
（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，所以以A为原点，如图建立直角坐标系．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），F（），P（0，0，1）．
取PC的中点M，连结ME．则M（），，．
故，即AF∥EM，又EM⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以AF∥平面PEC；
（2）设平面PEC的法向量为，，
则，可得，令z=-1，得y=1，x=-1．
则，
取平面ABCD的一个法向量为．
=．
所以二面角P-EC-D的余弦值等于；
（3），平面PEC的法向量，
所以点B到平面PEC的距离d=．