Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=3a，a_n+1=f（a_n），设，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：．

Answer

（1）依题意，f（x）=，a1=3a，an+1=f（an），可求得a2，又bn=，从而可求得b1，b2的值；
（2）由an+1=，bn=，可求得bn+1=，结合（1）中求得的b1，b2可知{lgbn}是以2为公比，首项为-lg2的等比数列，从而可求数列{bn}的通项公式；
（3）由（2）得Tn=+++…+，易证当n≤3时，Tn＜；当n＞3时，利用二项式性质2n-1=（1+1）n-1＞1++＞1+（n-1）+1=n+1，亦可证得Tn＜．
【解析】
（1）∵f（x）=（a＞0），a1=3a，an+1=f（an），
∴a2=f（a1）==a．
由bn=得b1=，b2=…2分
（2）∵an+1=，bn=，
∴bn+1====…4分
又b1=，故对一切正整数n，都有bn＞0，
∴lgbn+1=2lgbn，
又lgb1=lg=-lg2≠0，
∴{lgbn}是以2为公比，首项为-lg2的等比数列．
故lgbn=（-lg2）×2n-1=lg…6分
∴bn=…7分
（3）由（2）得Tn=+++…+，
当n≤3时，Tn≤++=＜；…8分
当n＞3时，Tn=+++…+=+[++…+]，…9分
又当n＞3时，2n-1=（1+1）n-1＞1++＞1+（n-1）+1=n+1，…10分
∴Tn＜+[++…+]
=+
=+[1-]＜+=…13分
综上，Tn＜…14分