Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论．
（Ⅱ）先证明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根据FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，满足条件．先证明PE=BE，根据F为PB的中点，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此时，则△PFM∽△PCB，根据对应边成比列
求得PB、PF、PC的值，可得PM的值．
（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又因为FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：
在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以．
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以，
所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得．
由已知可求得，，，所以．…（14分）