Question

已知函数f（x）=，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x₁，x₂∈（0，e]，总有g（x₁）＜f（x₂）成立．

Answer

（I）先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案．
（Ⅱ）欲证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＜f（x）min．由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，从而有f（x）min=a，同样地利用导数可得，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，从而g（x）max=g（a）=alna-a，最后利用作差法即可得到g（x）max＜f（x）min．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．
当a＞0时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ ↗ ↘

当a＜0时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ ↗

综上所述，
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，
又f（0）=a，f（e）=
所以f（x）min=a，
同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，
所以g（x）max=g（a）=alna-a，
因为a-（alna-a）=a（2-lna）＞a（2-lne）=a＞0，
所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max=g（e）=alna-a＜a=f（x）min．
所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．
综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）