Question

已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A₁，A₂，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出a2的值，结合隐含条件b2=a2-c2求出b2的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出k2的值，则E点到y轴的距离可求．
【解析】
（Ⅰ）依题设A1（-a，0），A2（a，0），则，．
由，得：（-a-1）（a-1）=-1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．
事实上，依题直线l的方程为y=k（x-1）．
联立，得：（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），
则，，
所以，，
所以．
则直线MD的方程为，
令y=0，得，则．
若四边形ADBE为菱形，则xE+xD=2x，所以．
yE+yD=2y，所以．
所以．
若点E在椭圆C上，则．
即9k4+8k2=2（2k2+1）2
整理得k4=2，解得．
所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．
此时点E到y轴的距离为=．