Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足，求证：当n≤k时有b_n＜1．

Answer

（1）由a1=1，．可得 a2=2a1=2；及a3=S2=a1+a2=3可得a4=4；
（2）当n＞1时，由nan+1=2Sn，再构造一式：（n-1）an=2Sn-1，两式相减可化得，从而有a2=2，，…，以上（n-1）个式子相乘得数列{an}的通项an
（3）分析可得{bn}是单调递增数列，故要证：当n≤k时，bn＜1，只需证bk＜1．下面分（i）当k=1时和（ii）当k≥2时，结合裂项法等求数列的前n项和可得当n≤k时有bn＜1．
【解析】
（1）由a1=1，．
得 a2=2a1=2，（1分）
a3=S2=a1+a2=3，（2分）
由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），
得a4=4                        （3分）
（2）当n＞1时，由nan+1=2Sn  ①，
得（n-1）an=2Sn-1  ②（4分）
①-②得nan+1-（n-1）an=2（Sn-Sn-1），化简得nan+1=（n+1）an，
∴（n＞1）．（5 分）
∴a2=2，，…，                          （6 分）
以上（n-1）个式子相乘得an=2×…×（n＞1）（7 分）
又a1=1，∴an=n（n∈N+）                              （8 分）
（3）∵an=n＞0，b1=＞0，bn+1=b+bn，
∴{bn}是单调递增数列，故要证：当n≤k时，bn＜1，
只需证bk＜1．（9分）
（i）当k=1时，b1=＜1，显然成立；                          （10分）
（ii）当k≥2时，
∵bn+1＞bn＞0，，
∴，
∴．（11分）
∴…+＞-（12分）
∴bk＜＜1．（13分）
综上，当n≤k时有bn＜1．（14分）