Question

如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．

Answer

由题意，得四边形ODCE是平行四边形，连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，可得△OCD中∠ODC=180°-∠AOB=120°．利用余弦定理得r2=x2+y2+xy，再由基本不等式算出x+y≤r，当且仅当x=y=r时等号成立．由此可得当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．
【解析】
根据题意，四边形ODCE是平行四边形
因为∠AOB=60°，所以∠ODC=180°-∠AOB=120°
连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y
在△OCD中，根据余弦定理得OC2=OD+2DC2-2OD•DCcos120°
即r2=x2+y2+xy
∴（x+y）2=r2+xy≤r2+（）2．
解之得（x+y）2≤r2，可得x+y≤r，当且仅当x=y=r时，等号成立
∴x+y的最大值为r，此时C为弧AB的中点
答：当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大．