Question

已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有（k为常数）．
（1）若，求证：a₁，a₂，a₃成等差数列；
（2）若k=0，且a₂，a₄，a₅成等差数列，求的值；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

Answer

（1）把，代入，令n=1化简即可证明；
（2）当k=0时，，由于数列{an}的各项都为正数，可得数列{an}是等比数列，设公比为q＞0，根据a2，a4，a5成等差数列，可得a2+a5=2a4，即，解出即可；
（3）存在常数λ=，使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立．由，及，可得，由于an＞0，两边同除以anan+1，得到，进而=…=，即当n∈N*时，都有，再利用已知求出a1，a2，a3即可证明．
（1）证明：∵，
∴，
令n=1，则，
∵a1＞0，∴2a2=a1+a3，
故a1，a2，a3成等差数列；
（2）当k=0时，，
∵数列{an}的各项都为正数，
∴数列{an}是等比数列，设公比为q＞0，
∵a2，a4，a5成等差数列，
∴a2+a5=2a4，∴，
∵a1＞0，q＞0，
∴q3-2q2+1=0，
化为（q-1）（q2-q-1）=0，解得q=1或．
∴或．
（3）存在常数λ=，使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立．
证明如下：∵，∴，
∴，即，
由于an＞0，两边同除以anan+1，得到，
∴=…=，
即当n∈N*时，都有，
∵a1=a，a2=b，，
∴a3=．∴=．
∴存在常数λ=，使得an+an+2=λan+1对任意n∈N*都成立．