Question

设函数f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x₁，x₂，求证：．

Answer

（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；
（3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．
两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．
【解析】
（1）x∈（0，+∞）．
==．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．
所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．
∵a＞0，∴．
令h（a）=a+-4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=-2，h（3）==，
所以存在零点h（a）=0，a∈（2，3），
当a＞a时，h（a）＞0；当0＜a＜a时，h（a）＜0．
所以满足条件的最小正整数a=3．
又当a=3时，f（3）=3（2-ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．
（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．
不妨设0＜x1＜x2．则，．
两式相减得+alnx2=0，
化为a=．
∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．
故只要证明即可，
即证明x1+x2＞，即证明，
设，令g（t）=lnt-，则=．
∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0
．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，
∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0纵成立．故命题得证．