Question

在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B两点，已知A点的纵坐标为，B点的纵坐标为．
（1）求tanα和tanβ的值；
（2）求2α+β的值．

Answer

（1）利用三角函数的定义求出sinα和sinβ，然后根据同角三角函数的基本关系求出cosα和cosβ，进而可以求出tanα和tanβ的值；
（2）由两角和与差正切公式求出tan（α+β）和tan（2α+β）的值，然后由正切的特点得出和，进而根据特殊角的三角函数值得出答案．
【解析】
（1）由条件得 ，…（2分）
因为α，β为锐角，故 cosα＞0且，同理可得…（4分）
因此，．                 …（6分）
（2）∵，
∴tan（α+β）===…（7分）
tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]===1  …（8分）
∵0＜α＜，y=tanx在上单调递增，
且，∴，…（10分）
同理，
∴…（11分）
从而…（12分）