Question

某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组，求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率．

Answer

（1）根据题意，成绩在第一组的为优秀，其频率为0.06，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数；
（2）由频率分布直方图知成绩在第三组的频率0.38，因此估计成绩属于第三组的人数约为900×0.38=342人；
（3）由频率计算公式得样本中第一组共有3人，得第五组共有4人．因此记第一组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生；第五组四人记为a、b、c、d．其中a为男生，b、c、d为女生．用列表格的方法计算出基本事件的总数共有12个，而新组恰好由一个男生和一个女生构成的基本事件有7个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．
【解析】
（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，
结合样本容量等于50，可得优秀人数为：50×0.06=3
∴该样本中成绩优秀的人数为3． …（3分）
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
从而可得成绩属于第三组的人数的估计值为：900×0.38=342
∴估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342．…（7分）
（3）样本中第一组共有3人，
由第五组的频率为0.08，可得第五组共有4人．
其中第五组四人记为a、b、c、d．其中a为男生，b、c、d为女生，
第一组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生．
基本事件列表如下：

a b c d
1 1a 1b 1c 1d
2 2a 2b 2c 2d
3 3a 3b 3c 3d

可得基本事件总共有12个              …（10分）
恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a；共7个        …（12分）
∴新组恰由一男一女构成的概率是P=．…（13分）