Question

数列{a_n}的各项均为正数，s_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，s_n，成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）正数数列{c_n}中，a_n+1=，（n∈N°）．求数列{c_n}中的最大项．

Answer

（Ⅰ）由已知可得2，则（n≥2），两式相减整理可得an-an-1=1，令n=1解得a1，结合等差数列的通项公式可求
（Ⅱ）由已知，an+1=，分别令n=1，2，3，4可求c1，c2，c3，c4，结合几项的值，猜想{cn}的单调性，然后构造函数，结合导数判断该函数在[3，+∞）内的单调性，进而可知{cn}的单调性，即可判断
（Ⅰ）【解析】
由已知：对于任意n∈N*，总有2①成立
∴（n≥2）②
①--②得
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵各项都均为正数，
∴an-an-1=1   （n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，，解得a1=1
∴an=n．
（Ⅱ）由已知  =2可得c1=
=3可得，
=4可得c3=
=5可得c4=
易得 c1＜c2＞c3＞c4
猜想 n≥2 时，{cn}是递减数列．
令
∴=
∵当x≥3时lnx＞1，则1-lnx＜0，即f‘（x）＜0
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=，可得．
∴n≥2 时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为c2=．