Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN；
（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．

Answer

（Ⅰ）通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面AMD∥平面BCN，然后证明AM∥平面BCN；
（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量以及直线AN向量，然后求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）设E（x，y，z），，推出E点的坐标为（2λ，2λ，2-λ），通过，求出，即可求的值．
（本题14分）【解析】
（Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，
∴BC∥AD．∵BC⊄平面AMD，AD⊂平面AMD，
∴BC∥平面AMD．
∵NB∥MD，∵NB⊄平面AMD，MD⊂平面AMD，
∴NB∥平面AMD．
∵NB∩BC=B，NB⊂平面BCN，BC⊂平面BCN，
∴平面AMD∥平面BCN…（3分）
∵AM⊂平面AMD，
∴AM∥平面BCN…（4分）
（也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分）
（Ⅱ）∵MD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）…（5分）
则A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），N（2，2，1）．∴，…（6分），，
设平面MNC的法向量，
则，令z=2，则，…（7分）
设AN与平面MNC所成角为θ，∴．…（9分）
（Ⅲ）设E（x，y，z），，∴，
又∵，
∴E点的坐标为（2λ，2λ，2-λ），…（11分）
∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，
∵，，
∵∴4λ-2（2-λ）=0，
∴，
所以．…（14分）