Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：
（1）；     
（2）．

Answer

（Ⅰ）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；
（Ⅲ）（1）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；     
（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明．
（本题14分）
【解析】
（Ⅰ）数列为三阶期待数列…（1分）
数列为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k+1（k≥1）的公差为d，
∵a1+a2+a3+…+a2k+1=0，
∴，
所以a1+kd=0，
即ak+1=0，∴ak+2=d，…（4分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）
当d＞0时，据期待数列的条件①②得：，
∴，即
由ak+1=0得 ，即 ，
∴．…（7分）
当d＜0时，
同理可得，即，
由ak+1=0得 ，即
∴．…（8分）
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…（9分）
当k＜n时，据条件①得Sk=a1+a2+…+ak=-（ak+1+ak+2+…+an），
即|Sk|=|a1+a2+…+ak|=|ak+1+ak+2+…+an|，
∴2|Sk|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1+ak+2+…+an|
≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+|ak+2|+…+|an|=1，
∴．…（11分）

=
=

=
=．…（14分）