Question

某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²+3a、4a．
（1）求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；
（2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差．

Answer

（1）根据概率分布的性质：概率之和为1，列出关于a的等式，求出a值，从而得出ξ的分布列，再根据数学期望和方差公式计算ξ的数学期望和方差即可；
（2）根据题意有：η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），利用变量之间的线性关系求出η的数学期望和方差．
【解析】
（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1．（1分）
∴100a2+7a=0.3，
∴1 000a2+70a-3=0，a=，或a=-（舍去），即a=0.03，（2分）
∴100a2+3a=0.18，4a=0.12，
∴ξ的分布列为

ξ 200 220 240 260 280 300
P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12

（8分）
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250（km）
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964；  （10分）
（2）由已知η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），
∴Eη=E（3ξ-3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元）
Dη=D（3ξ-3）=32Dξ=8 676．（12分）