Question

（理科）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，记，设数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）利用已知条件中数列的前n项和与项的递推关系，通过仿写得到另一个等式，两个式子相减得到数列的项间的递推关系，利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．
（2）将（1）中求出的项代入已知等式得到bn，求出数列{bn}的前三项，利用等比数列前三项成等比数列，列出方程求出a的值，将a的值代入通项检验．
（3）求出通项Cn，利用放缩法将通项放缩得到一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出前n项和，不等式得证．
【解析】
（1）由（a-1）Sn=aan-a    ①
当n≥2时，（a-1）Sn-1=aan-1-a     ②
由①-②得n≥2时，（a-1）an=aan-aan-1即an=aan-1
又a1=a≠0
∴数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列
∴an=an
（2）

又b22=b1•b3得（3a+2）2=3（3a2+2a+2）解得
又时，显然为等比数列
故
（3）由（2）得=
又=
∴=
∴