Question

设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（1）证明：；
（2）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer

（1）把直线l的方程代人椭圆方程，由直线与椭圆相交于A、B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1，y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积 及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．
（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得．
并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2-6ky+3k2-k2a2=0   ①
∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2-4（3+k2）（3k2-k2a2）＞0，
∴．
（2）【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由①，得，②
∵，而点C（-1，0），
∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），
得y1=-2y2代入②，得，③
∴△OAB的面积 ==≤=，当且仅当k2=3，即时取等号．
把k的值代人③可得，
将及这两组值分别代入①，均可解出a2=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．