Question

已知数列{a_n}的首项a₁＞0，
（Ⅰ）若，请直接写出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求证：{}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n对一切n∈N₊都成立，求a₁的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用，，n取1，2，即可求得a2，a3的值；
（Ⅱ），两边取倒数，可得数列{}是首项为，公比为的等比数列，由此可得{an}的通项公式；
（Ⅲ）若an+1＞an对一切n∈N+都成立，可得，又a1＞0，即可求a1的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
∵，，∴=，…（2分）
（Ⅱ）证明：由题意知an＞0，，
∴，
∵=  …（4分）
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列…（5分）
∴，
∴   …（7分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知：即…（9分）
由a1＞0，知an＞0，故an+1＞an，得…（11分）
即得，…（13分）
又a1＞0，则0＜a1＜1…（14分）