Question

数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为S_n，点（n，S_n）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，数列{a_n}满足=2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（），R_n=+++…+．试比较R_n与的大小，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）先由b1=1得S1=1，再利用点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上求出a=，b=；再利用根据bn和Sn的关系：bn=Sn-Sn-1 （n≥2）求解数列bn的通项公式即可证：数列{bn}是等差数列，再代入满足=2n．即可求出求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先求出=，再对其用错位相减法求和，得到Rn=3-，让Rn与作差，整理后分类比较大小即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵b1=1，∴S1=1
∴点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a=，b=．
∴Sn=n2+n．则n≥2时，Sn-1=（n-1）2+（n-1）．
∴bn=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=n（n≥2）．
又b1=1也适合，所以bn=n（n∈N+）．则bn-bn-1=1．
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
又=2n ∴an==．
（Ⅱ）证明：∵cn=（）=•=∴=
∴Rn=+++…+=+++…+①．
∴Rn=，②
两式相减得Rn=
∴Rn=3-，Rn-=．
所以只需要比较2n与2n+1的大小即可．
当n=1时，2n＜2n+1，所以Rn＜，
当n=2时，2n＜2n+1，所以Rn＜，
当n≥3时，2n=（1+1）n=1+n++n+1＞2n+1，所以Rn＞．（12分）