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如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC...

如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求证:FC∥平面EAD;
(Ⅲ)求二面角A-FC-B的余弦值.

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(Ⅰ)设AC与BD相交于点O,连接FO.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,且O为AC中点.由FA=FC,知AC⊥FO.由此能够证明AC⊥平面BDEF. (Ⅱ)因为四边形ABCD与BDEF均为菱形,所以AD∥BC,DE∥BF,平面FBC∥平面EAD.由此能够证明FC∥平面EAD. (Ⅲ)因为四边形BDEF为菱形,且∠DBF=60°,所以△DBF为等边三角形.因为O为BD中点,所以FO⊥BD,故FO⊥平面ABCD.由OA,OB,OF两两垂直,建立空间直角坐标系O-xyz.设AB=2.因为四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,则BD=2,所以 ,.求得平面BFC的法向量为,平面AFC的法向量为=(0,1,0).由此能求出二面角A-FC-B的余弦值. (Ⅰ)证明:设AC与BD相交于点O, 连接FO.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,且O为AC中点.   …(1分) 又 FA=FC,所以 AC⊥FO.  …(3分) 因为 FO∩BD=O, 所以 AC⊥平面BDEF.  …(4分) (Ⅱ)证明:因为四边形ABCD与BDEF均为菱形, 所以AD∥BC,DE∥BF, 所以 平面FBC∥平面EAD.…(7分) 又FC⊂平面FBC,所以FC∥平面EAD.      …(8分) (Ⅲ)【解析】 因为四边形BDEF为菱形,且∠DBF=60°, 所以△DBF为等边三角形. 因为O为BD中点,所以FO⊥BD,故FO⊥平面ABCD. 由OA,OB,OF两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. …(9分) 设AB=2.因为四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°, 则BD=2,所以OB=1,.所以 . 所以 ,. 设平面BFC的法向量为=(x,y,z), 则有, 取x=1,得. ∵平面AFC的法向量为=(0,1,0).    …(11分) 由二面角A-FC-B是锐角,得|cos<,>|==. 所以二面角A-FC-B的余弦值为.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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