Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，
（1）证明：平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）当二面角B₁-AC₁-D₁的平面角为120°时，求四棱锥A-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer

（1）利用线面垂直的判定定理，证明B1D1⊥平面AA1C1，利用面面垂直的判定，可得平面AB1D1⊥平面AA1C1；
（2）过点B1作B1H⊥AC1于H，连接D1H，则D1H⊥AC1，先确定正四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，再求四棱锥A-A1B1C1D1的体积
（1）证明：∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴AA1⊥B1D1，
∵B1D1⊥A1C1，AA1∩A1C1=A1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，
∵B1D1⊂平面AB1D1，
∴平面AB1D1⊥平面AA1C1；
（2）【解析】
过点B1作B1H⊥AC1于H，连接D1H，则D1H⊥AC1，B1H=D1H，∴∠B1HD1=120°
在△B1HD1中，由余弦定理可得==2
∴B1H=D1H=，
在Rt△AB1C1中，由等面积可得AB1×B1C1=B1H×AC1
即
∴h=1，
此时，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥A-A1B1C1D1的体积为．