Question

F₁，F₂为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上一点，直线F₁P与圆x²+y²=a²切于一点E，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．5

Answer

连结PF2、OE，根据三角形中位线定理，算出|PF2|=2|OE|=2a．由圆的切线性质，得到OE⊥PF1，结合OE∥PF2得PF2⊥PF1．然后在△PF1F2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c=a，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．
【解析】
连结PF2、OE，
∵OE是△PF1F2的中位线，
∴OE∥PF2，且|PF2|=2|OE|=2a
∵直线F1P与圆x2+y2=a2切于一点E
∴OE⊥PF1，可得PF2⊥PF1，
△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，…①
∵根据双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a
∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，代入①得（4a）2+（2a）2=|F1F2|2，
∴（2c）2=|F1F2|2=20a2，解之得c=a
由此可得双曲线的离心率为e===
故选：B