Question

如图，在边长为3的正三角形ABC中，G、F为边AC的三等分点，E、P分别是AB、BC边上的点，满足AE=CP=1，今将△BEP，△CFP分别沿EP，FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合，B，C折后的对应点分别记为B₁，C₁．
（Ⅰ）求证：C₁F∥平面B₁GE；
（Ⅱ）求证：PF⊥平面B₁EF．

Answer

（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD、C1D、C1F．利用平行线的性质，证出△B1EP中EP∥GF且EP=GF，从而得到四边形GEDF为平行四边形，得FD∥GE．结合DC1∥EB1且DC1、FD是平面DFC1内的相交直线，GE、B1E是平面B1GE内的相交直线，得到平面DFC1∥平面B1GE，从而证出C1F∥平面B1GE．
（II）连接EF，B1F，由△BEP内由余弦定理算出EF2=3，可得FP2+EF2=EP2，得PF⊥EF．根据△PB1F的中线C1F=PB1，证出B1F⊥PF，结合线面垂直的判定定理，即可证出PF⊥平面B1EF．
【解析】
（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD、C1D、C1F．
∵BC=3，CP=1，∴折起后C1为B1P的中点．
∴在△B1EP中，DC1∥EB1，…（1分）
又∵AB=BC=AC=3，AE=CP=1，
∴，∴EP=2且EP∥GF．…（2分）
∵G，F为AC的三等分点，∴GF=1．
又∵，∴GF=ED，…（3分）
∴四边形GEDF为平行四边形．
∴FD∥GE．…（4分）
又∵DC1∩FD=D，GE∩B1E=E，
∴平面DFC1∥平面B1GE．…（5分）
又∵C1F⊂平面DFC1
∴C1F∥平面B1GE．…（6分）
（Ⅱ）连接EF，B1F，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
由余弦定理，得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3
∴FP2+EF2=EP2，可得PF⊥EF．…（8分）
∵B1C1=PC1=1，C1F=1，得FC1=B1C1=PC1，
∴△PB1F的中线C1F=PB1，可得△PB1F是直角三角形，即B1F⊥PF．…（10分）
∵EF∩B1F=F，EF、B1F⊂平面B1EF
∴PF⊥平面B1EF．…（12分）