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已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA、PB、PC两两互相垂...

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA、PB、PC两两互相垂直,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为( )
A.18
B.24
C.18manfen5.com 满分网
D.24manfen5.com 满分网
由已知,三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA,PB,PC两两垂直,球直径等于以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线,由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值. 【解析】 ∵PA,PB,PC两两垂直, 又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上, ∴以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径. ∴36=PA2+PB2+PC2, 则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB,PA2+PC2≥2PA•PC,PB2+PC2≥2PB•PC, 即36=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC 则三棱锥P-ABC的侧面积S=(PA•PB+PB•PC+PA•PC)≤18, 则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为18, 故选A.
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