Question

将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BE∥面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-BF-E的大小．

Answer

（I）取DF的中点M，连结AM、EM，可证出EM∥AB且EM=AB，从而得到四边形ABEM是平行四边形，得AM∥BE．根据线面平行的判定定理，可证出BE∥平面ADF；
（II）分别以以DA、DC、DF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．得到A、B、C、E、F各点的坐标，从而得到、和的坐标，利用垂直的两个向量数量积为零列式，解出=（1，1，1）是平面BEF的一个法向量，而==（-1，1，0）是平面BDF的一个法向量，用公式算出、的夹角为90°，从而得到平面BDF与平面BEF互相垂直，即得二面角D-BF-E的大小为90°．
【解析】
（I）取DF的中点M，连结AM、EM，则DM=EC=1且DM∥EC
∴四边形CDME是平行四边形，可得EM∥CD且EM=CD
又∵AB∥CD且AB=CD，得EM∥AB且EM=AB
∴四边形ABEM是平行四边形，可得AM∥BE
∵AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF；
（II）连结AC
∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD为正方形，DCEF为直角梯形，
∴以DA所在直线为x轴、DC所在直线为y轴、DF所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示
可得A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，0，1），E（0，1，1），F（0，0，2）
∵AC⊥BD，AC⊥DF，BD、DF是平面BDF内的相交直线
∴AC⊥平面BDF，可得==（-1，1，0）是平面BDF的一个法向量
设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），
由，取z=1得x=y=1，可得=（1，1，1）
∵cos＜，＞===0
∴⊥，即平面BDF的法向量与平面BEF的法向量互相垂直
因此，平面BDF与平面BEF互相垂直，可得二面角D-BF-E的大小为90°．