Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）设点O为AB₁上的动点，当OD∥平面ABC时，求的值．

Answer

（Ⅰ）由三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，取BC边的中点M，连结AM，可证AM垂直于底面，从而得到AM垂直于BD，在正方形BB1C1C中，通过直角三角形角的关系可证BD⊥B1M，利用线面垂直的判定定理得到要证的结论；
（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．利用线面平行的判定定理证明线面平行，从而得到面面平行，再借助于两面平行的性质得到线线平行，根据N点是AA1的中点，得到O为AB1的中点，即．
（Ⅰ）证明：取BC中点为M，连结AM，B1M，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC，
故AM⊥平面CB1，又BD⊂平面CB1，
所以AM⊥BD．
又正方形BCC1B1中，，
所以∠BB1M=∠CBD，
所以BD⊥B1M，又B1M∩AM=M，
所以BD⊥平面AB1M，故AB1⊥BD，
又正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，A1B∩BD=B，
所以AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．
因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，
所以ON∥平面ABC，又ON⊂平面BAA1B1，平面BAA1B1∩平面ABC=AB，
所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，
所以O为AB1的中点，即为所求．