Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA=PC．
（Ⅰ）求证：平面APB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer

（I）过P作PO⊥AB，垂足为O，连结OC．设AB=2，在△AOC中，根据余弦定理算出，从而得出PO2+OC2=4=PC2，证出PO⊥OC，结合线面垂直判定定理得到PO⊥平面ABC，再由PO⊂平面APB，证出平面APB⊥平面ABC；
（II）以O为坐标原点，OB、OP所在直线为y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系，可得A、C、P各点的坐标，从而得到的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组是平面APC的一个法向量．再由平面APB的向量为=（1，0，0），算出夹角的余弦值等于，即可得到二面角B-AP-C的余弦值．
解（Ⅰ）过P作PO⊥AB，垂足为O，连结OC．
设AB=2，则，
在△AOC中，，
由余弦定理得．
在△POC中，，
∴PO2+OC2=4=PC2，∴可得∠POC=90°，即PO⊥OC．
又∵PO⊥AB，且AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC
∵PO⊂平面APB，∴平面APB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OP所在直线为y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系，
则可得．
∴，
设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），则，即

令x1=1，得y1=-，z1=1，可得．
而平面APB的一个法向量为=（1，0，0），设二面角B-AP-C的平面角为α，且α为锐角，
∴．
由此可得二面角B-AP-C的余弦值为．