Question

某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），单位：元）．
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）根据直方图，可得居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），由此可算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）由题意知，X～B（3，0.3），求出相应的概率，可得X的分布列和数学期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此，，，．
故随机变量X的分布列为

 X  0  1  2  3
 P  0.343 0.441  0.189  0.027 

X的数学期望为3×0.3=0.9．