Question

已知直线，圆O：x²+y²=5，椭圆的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）若=2求直线l的方程；
（2）若动点P满足=+，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离为d=，利用勾股定理可求得b值，根据b值，，a2=b2+c2可求得a；
（Ⅱ）（1）易判断l斜率不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得y1=-2y2①，设直线l：x=my+1，代入椭圆消掉x得y的二次方程，由韦达定理及①可用m表示y1，y2，代入，得×，解出m，从而得到直线l的方程；（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得成立．易判断直线斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，由（1）的设法可得P（x1+x2，y1+y2），若点P在椭圆C上，可得，再由点A，B在椭圆上，可得2x1x2+3y1y2+3=0②，代入韦达定理可得m的方程，解出m，进而可求出点P的坐标，得到结论；
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为，
∴．由题意得  ，解得a2=3，b2=2．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），则有y1=-2y2①，
设直线l：x=my+1，联立消去x，整理得（2m2+3）y2+4my-4=0．
∴．
结合①，得．
代入，得×，即，解得，
故直线l的方程是．
（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得成立．
当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线l的方程为x=my+1，
用（1）的设法，可得P（x1+x2，y1+y2）．
若点P在椭圆C上，则，即．
又点A，B在椭圆上，有，
则，即2x1x2+3y1y2+3=0②，
由（1）知x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=，
代入②式得，解得，即．
当时，，；
当时，，．
故椭圆C上存在点P，使得成立，即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，公共点的坐标是．