Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1）．求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）利用递推式，再写一式，两式相减，利用等比数列的定义，即可得到结论；
（2）先确定数列{an}的通项，再求导，赋值，再用错位相减法，即可求得数列{bn}的通项公式．
（1）证明：∵Sn+1=2Sn+n+5，
∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，
两式相减可得an+1+1=2（an+1）
当n=1时，a2=2a1+1=11，∴a2+1=12，
∵a1=5，∴a1+1=6，
∴数列{an+1}是以6为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知an+1=6×2n-1，∴an=3×2n-1，
∵f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，
∴f′（x）=a1+2a2x+…+nanxn-1，
∴f′（1）=a1+2a2+…+nan=（3×2-1）+2（3×22-1）+…+n（3×2n-1）
=3（2+2×22+…+n×2n）-（1+2+3+…+n）
令S=2+2×22+…+n×2n，则2S=22+2×23+…+n×2n+1
两式相减可得S=（n-1）×2n+1+2
∴bn=f′（1）=．