Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切；若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点．直线OA和OB的斜率分别为k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：△OAB的面积为定值．

Answer

（1）由椭圆的离心率为，圆心到直线x-y+=0的距离等于b及c2=a2-b2联立方程组求解a2，b2，则椭圆的方程可求；
（2）把直线l的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，代入直线方程求出两交点的纵坐标的积，结合kOA•kOB=-得到k与m的关系，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出O到直线y=kx+m的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，整理后得到结果为定值．
（1）【解析】
由题意得，解得a2=4，b2=3．
所以椭圆的方程为；
（2）证明：设A（x1，y1），（x2，y2），则A，B的坐标满足，
整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴，．
由△＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
==．
∵，∴，即，
∴，即2m2-4k2=3．
∵=
=．
O到直线y=kx+m的距离d=，
∴
==．为定值．