Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面A'BD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥A'B；
（Ⅱ）求三棱锥A'-BDC的体积．

Answer

（Ⅰ）利用平面A′BD⊥平面BCD，根据面面垂直的性质，可得CD⊥平面A′BD，利用线面垂直的性质，可得CD⊥A′B；
（Ⅱ）作出三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式，可求三棱锥A'-BDC的体积．
（Ⅰ）证明：∵平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵AB⊂平面A′BD
∴CD⊥A′B；
（Ⅱ）【解析】
如图1，在Rt△ABD中，BD==2
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°
在Rt△BDC中，DC=BDtan30°=
∴S△BDC==
如图2，在Rt△A′BD中，过点A′作A′E⊥BD于E，则A′E⊥平面BCD
∵=
∴VA′-BDC===