Question

过点M（2，-2p）作抛物线x²=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点纵坐标为6，则p的值是    ．

Answer

设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，
结合线段AB中点的纵坐标为6，可求p的值．
【解析】
设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x-2）与抛物线的方程x2=2py联立
消y得：x2-2pkx+4pk+4p2=0 ①．
根据题意可得，此方程的判别式等于0，∴pk2-4k-4p=0．
设切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，
此时，方程①有唯一解为 x==pk，∴y===2（k+p）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则12=y1+y2=2（k1+k2）+4p=+4p，
∴p2-3p+2=0，解得 p=1或p=2，
故答案为 1或2．