Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，=λ．（λ∈R）
（Ⅰ）当λ=时，求证AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）当二面角A-A₁D-B的大小为时，求实数λ的值．

Answer

（Ⅰ）由三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，取BC边的中点O，连结AO，可证AO垂直于底面，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知求出各点的坐标，得到向量的坐标，由向量的数量积等于0可证AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）把D点的坐标用含有λ的代数式表示，求出二面角A-A1D-B的两个面的法向量，利用法向量所成的角为即可得到λ的值．
（Ⅰ）证明：取BC的中点为O，连结AO
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，所以AO⊥BC，
故AO⊥平面CB1．
以O为坐标原点建立如图空间直角坐标系O-xyz．
则，B1（1，2，0），D（-1，1，0），，B（1，0，0）．
所以，，，
因为，
所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB=D，
所以AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）【解析】
由（1）得D（-1，2λ，0），所以，，，
设平面A1BD的法向量，平面AA1D的法向量，
由，得，取y=1，得x=λ，．
所以平面A1BD的一个法向量为，
由，得，取u=-1，得x=，y=0．
所以平面AA1D的一个法向量，
由，得=．
解得，为所求．