Question

已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．
（Ⅰ）当k=e，b=-3时，求f（x）-g（x）的最大值；（e为自然常数）
（Ⅱ）若A（，），求实数k，b的值．

Answer

（Ⅰ）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；
（Ⅱ）先求出切线方程，代入A的坐标，进而求出P，Q的坐标，即可求实数k，b的值．
【解析】
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
则，----（1分）
当时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
当时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．
所以函数h（x）的增区间为，减区间为．
∴时，f（x）-g（x）的最大值为；----（4分）
（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x，lnx），则其斜率，
故切线，
将点代入直线l方程得：，
即，----（7分）
设，则，
当时，v′（x）＜0，函数v（x）为增函数；
当时，v′（x）＞0，函数v（x）为减函数．
故方程v（x）=0至多有两个实根，----（10分）
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以为所求．----（12分）