Question

如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2．那么CD=______

Answer

如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．利用已知AF=3FB，AF+FB=2R，可得FB=R，又EF⊥AB，可得OE=EB，即△OEB为等边三角形．即可求出AE．进而求出AC．再利用割线定理即可得出CD．
【解析】
如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．
由AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥CE．
∵AF=3FB，AF+FB=2R，
∴FB=R，又EF⊥AB，∴OE=EB，即△OEB为等边三角形．
∴∠ABE=60°．
∴AE=BEtan60°=．
在Rt△ACE，==．
由割线定理可得：CD•CA=CE•CB，∴=．
故答案为．