Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中点．
（I） 证明：平面BDC₁⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer

（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，于是可得（V-V1）：V1=1：1，从而可得答案．
证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，
∴（V-V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．