Question

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，得．（2分）
结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）
所以，椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以，（6分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF2N为平行四边形，
所以AF2⊥BF2，（7分）
因为，，
所以．（8分）
即，（9分）
将其整理为．（10分）
因为，所以，12≤a2＜18．（11分）
所以，即．（13分）