Question

函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A．a•b=0
B．a+b=0
C．a²+b²=0
D．a=b

Answer

若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．
【解析】
若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），即-x|x-a|+b=-x|x+a|-b恒成立，
亦即x（|x-a|-|x+a|）=2b恒成立，
要使上式恒成立，只需|x-a|-|x+a|=2b=0，即a=b=0，
故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，
故选C．