Question

已知圆C：（x-4）²+（y-m）²=16（m∈N*），直线4x-3y-16=0过椭圆的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A（3，1）在椭圆E上．
（Ⅰ）求m的值及椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据直线交圆的弦长的值，进而求得圆心C（4，m）到直线，根据点到直线的距离求得m，进而求得椭圆E的焦点，进而根据椭圆的定义求得a，进而根据a和c求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）设Q的坐标，表示出，进而设x+3y=n与椭圆方程联立，消去y根据判别式求得n的范围．
【解析】
（Ⅰ）因为直线4x-3y-16=0交圆C所得的弦长为，
所以圆心C（4，m）到直线，
即∴m=4，或m=-4（舍去）
又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为F2（4，0）．
则左焦点F1的坐标为（-4，0），因为椭圆E过A点，
所以|AF1|+|AF2|=2a
所以
故椭圆E的方程为：．
（Ⅱ）：
则
设x+3y=n，则由
消x得18y2-6ny+n2-18=0
由于直线x+3y=n与椭圆E有公共点，
所以△=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0
所以-6≤n≤6，故的取值范围为[-12，0]