Question

已知函数f（x）=log_kx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a_n）}是首项为4，
公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），当时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数k，使得{c_n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由已知可得f（an）=2n+2=logkan⇒an=k2n+2，利用定义可证，从而可得数列an为等比数列
（II）当，由（I）可得bn=（2n+2）•k2n+2=（2n+2）•2n+1=（n+1）•2n+2，利用“乘公比错位相减”求和
（III）由（I）可知cn=（2n+2）•k2n+2lgk，若使得{cn}中的每一项恒小于它后面的项⇒cn＜cn+1⇒（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立，分①lgk＞0②lgk＜0讨论求解．
【解析】
（Ⅰ）证明：由题意f（an）=4+（n-1）×2=2n+2，即logkan=2n+2，（1分）
∴an=k2n+2∴．（2分）
∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，
∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列．（3分）

（II）【解析】
由（1）知，bn=anf（an）=k2n+2•（2n+2），
当时，bn=（2n+2）•2n+1=（n+1）•2n+2．（4分）
∴Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2，①2Sn=2•24+3•25+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3．②（5分）
②-①，得Sn=-2•23-24-25--2n+2+（n+1）•2n+3=-23-（23+24+25+…+2n+2）+（n+1）•2n+3
∴=n•2n+3．（8分）

（III）【解析】
由（1）知，cn=anlgan=（2n+2）•k2n+2lgk，要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，
即（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．（9分）
①当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k2对一切n∈N*恒成立；（10分）
②当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k2对一切n∈N*恒成立，只需，（11分）
∵单调递增，
∴当n=1时，．（12分）
∴，且0＜k＜1，
∴．（13分）
综上所述，存在实数满足条件．（14分）