Question

如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．
①试证：EF∥AB；
②若EF=1，求三棱锥E-ADF的体积．

Answer

（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；
（2）①先证明AB∥面CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论；
②取AB中点O，EF的中点O′，证明AD⊥平面ABE，利用等体积，即可得到结论．
（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC；
（2）①证明：∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，
∴AB∥面CED，
∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF
∴AB∥EF；
②取AB中点O，EF的中点O′，
在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=
∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴VE-ADF=VD-AEF===