Question

过双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点F的直线l与双曲线C的右支交于点P，与圆x²+y²=a²恰好切于线段FP的中点，则直线l的斜率为    ．

Answer

设双曲线的右焦点为F1，原点为O，线段FP的中点为M，由中位线的知识可知|PF1|=2|OM|=2a，由双曲线的定义可得：|PF|-|PF1|=2a，进而可得|PF|=4a，在直角三角形PFF1中可得∠PFF1的正切值，即为所求．
【解析】
设双曲线的右焦点为F1，原点为O，线段FP的中点为M，
则OM为△PFF1的中位线，|PF1|=2|OM|=2a，
由双曲线的定义可知：|PF|-|PF1|=2a，
所以|PF|=4a，因为OM⊥PF，所以PF1⊥PF，
所以tan∠PFF1==，即直线l的斜率为
故答案为：