Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{a_n}前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{a_n}前2013项中剩余项的和．

Answer

（Ⅰ）把点（1，2）代入函数f（x）=ax，可求得得a=2，从而可得Sn=2n-1，于是可求得a1，当n≥2时，由an=Sn-Sn-1可求得an，验证后，能合则合，不合则分，即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{an}为等比数列，利用等比数列的求和公式求得数列{an}前2013项和，再减去第3项，第6项，…，第2013项的和即可．
【解析】
（Ⅰ）把点（1，2）代入函数f（x）=ax，得a=2．…（1分）
∴Sn=f（n）-1=2n-1，…（2分）
当n=1时，a1=S1=21-1=1；…（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1…（5分）
经验证可知n=1时，也适合上式，
∴an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{an}为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2013项也为等比数列，首项a3=23-1=4，公比q=23，a2013=22012为其第671项…（8分）
∴此数列的和为=…（10分）
又数列{an}的前2013项和为S2013==22013-1，…（12分）
∴所求剩余项的和为（22013-1）-=…（13分）