Question

如图，AD⊥平面ABC，AD∥CE，AC=AD=AB=1，∠BAC=90°，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer

（Ⅰ）先求CE的长，再取BE的中点G，连结GF，GD，证明四边形ADGF为平行四边形，可得AF∥DG，利用线面平行的判定，即可证明AF∥平面BDE；
（Ⅱ）先证明AF⊥面BCE，根据DG∥AF，可得DG⊥面BCE，利用面面垂直的判定，即可证明平面BDE⊥平面BCE．
证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，AC⊂面ABC，AB⊂面ABC，
∴AD⊥AC，AD⊥AB，
∵AD∥CE，∴CE⊥AC
∴四边形ACED为直角梯形．…（1分）
又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED．…（2分）
∴凸多面体ABCED的体积=
∴CE=2．…（3分）
取BE的中点G，连结GF，GD，则GF∥EC，GF=CE=1，
∴GF∥AD，GF=AD，四边形ADGF为平行四边形，
∴AF∥DG．…（5分）
又∵GD⊂面BDE，AF⊄面BDE，
∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．…（8分）
由（Ⅰ）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC．
∵AF⊂面ABC，∴AF⊥GF．…（9分）
又BC∩GF=F，∴AF⊥面BCE．…（10分）
又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE．…（11分）
∵DG⊂面BDE，∴面BDE⊥面BCE．…（12分）