Question

设函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=，g（x）=x（f（x）+1），（x＞1）且g（x）在区间（k，k+1）内存在极值，求整数k的值．

Answer

（I）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间．
（Ⅱ）当a=时，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-x+1）=xlnx+x-x2，（x＞1），令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，利用导数可得F（x）在（1，+∞）内单调递减，再利用零点存在定理得出F（x）即g′（x）在（3，4）内有零点，从而g′（x）在（3，4）内存在极值，结合已知条件求出整数k的值．
【解析】
（Ⅰ）∵x＞0，所以当a≤0时，f′（x）=-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）
当a＞0时，f（x）在（0，）上f′（x）=-a＞0，f（x）在（，+∞）上f′（x）=-a＜0，
故f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）当a=时，g（x）=x（f（x）+1）=x（lnx-x+1）=xlnx+x-x2，（x＞1）
∴g′（x）=lnx-x+2…（6分）
令F（x）=g′（x）=lnx-x+2，
则f′（X）=-1＜0，∴F（x）在（1，+∞）内单调递减．…（8分）
∵F（1）=1＞0．F（2）=ln2＞0，F（3）=g′（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0．
F（4）=g′（4）=ln4-4+2=ln4-2＜0，（9分）
∴F（x）即g′（x）在（3，4）内有零点，即g′（x）在（3，4）内存在极值．…（11分）
又∵g（x）在（k，k+1）上存在极值，且k∈Z，
∴k=3．…（12分）