Question

（a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为，点A是椭圆上任一点，△AF₁F₂的周长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．

Answer

（I）利用椭圆的定义、及b2=a2-c2即可解出；
（II）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量，，即可得出坐标之间的关系，消去λ及k即可得出结论．
解（Ⅰ）∵△AF1F2的周长为，
∴2a+2c=，即．
又，解得a=2，，b2=a2-c2=1．
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，
设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（1+4k2）x2+32k2x+64k2-4=0．
由题意△=（32k2）2-4（1+4k2）（64k2-4）＞0，即12k2-1＜0．
则，．
由，得（-4-x1，-y1）=（x2+4，y2），
∴-4-x1=λ（x2+4），∴．
设点R的坐标为（x，y），由，
得（x-x1，y-y1）=-λ（x2-x，y2-y），
∴x-x1=-λ（x2-x），
解得==，
而2x1x2+4（x1+x2）==-，
，
∴，
故点R在定直线x=-1上．