Question

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

Answer

命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”，等价于命题“∀x∈R，使x2+ax-4a≥0为真命题”，故△=a2+16a≤0，由此得到-16≤a≤0；由-16≤a≤0，知△=a2+16a≤0，故命题“∀x∈R，使x2+ax-4a≥0为真命题”，所以命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”．由此得到命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的充要条件．
【解析】
∵命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”，
∴命题“∀x∈R，使x2+ax-4a≥0为真命题”，
∴△=a2+16a≤0，
∴-16≤a≤0，
即命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”⇒“-16≤a≤0”；
∵-16≤a≤0，
∴△=a2+16a≤0，
∴命题“∀x∈R，使x2+ax-4a≥0为真命题”，
∴命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”，
即命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”⇒“-16≤a≤0”．
故命题“∃x∈R，使x2+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的充要条件．
故选C．