Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2012，且对于任意的x∈R满足f（x+2）-f （x）≤3•2^x，f （x+6）-f（x）≥63•2^x，则f （2012）等于（ ）
A．2²⁰⁰⁹+2008
B．2²⁰¹⁰+2009
C．2²⁰¹¹+2010
D．2²⁰¹²+2011

Answer

令f（x+2）-f（x）≤3×2x （1），f（x+6）-f（x）≥63×2x （2），（1）-（2）可得f（x+2）-f（x+6）≤-60×2x （3），再由（1）可得f（x+2）-f（x+6）≥-60×2x （7），由（3）和（7）得到，f（x+2）-f（x+6）=-60×2x（8），再对（1）变形联立（2）可得f（x+6）=f（x）+63×2x，与（8）联立得 f（x+2）-f（x）=3×2x，利用累加法及等比数列求和即可求得f（2012）．
【解析】
f（x+2）-f（x）≤3×2x （1），f（x+6）-f（x）≥63×2x （2），
由 （1）-（2）得到，f（x+2）-f（x+6）≤3×2x-63×2x=-60×2x，
所以，f（x+2）-f（x+6）≤-60×2x （3），
由（1）得，f（x+6）-f（x+4）≤3×2x+4=48×2x （5），
f（x+4）-f（x+2）≤3×2x+2=12×2x  （6），
由（5）+（6）得到，f（x+6）-f（x+2）≤60×2x，即f（x+2）-f（x+6）≥-60×2x （7），
由（3）和（7）得到，f（x+2）-f（x+6）=-60×2x（8），
由（1）得，f（x+6）≤f（x+4）+3×2x+4≤f（x+2）+3×2x+2+3×2x+4≤f（x）+3×2x+3×2x+2+2x+4=f（x）+63×2x，
又由（2）知，f（x+6）=f（x）+63×2x，与（8）联立得 f（x+2）-f（x）=3×2x，
所以f（x+2）=f（x）+3•2x，
所以 f（2012）=f（2010）+3×22010，
f（2010）=f（2008）+3×22008，…
f（2）=f（0）+3×2，
等式两边同时相加得到f（2012）=f（0）+3×22010+3×22008+…+3×2=2012+3×（22010+22008+…+2），
等比数列求和得f（2012）=2012+3×=2012+22012-1=2011+22012．
故选D